Découverte de la fonction exponentielle (de base e)

La fonction exponentielle de base \(\text{e}\) est la plus utilisée des fonctions exponentielles en mathématiques. Elle est aussi très présente en sciences.

Son emploi étant beaucoup plus fréquent que celui des autres fonctions exponentielles de base `a` , on la nomme plus simplement « fonction exponentielle ». Une valeur approchée de ce nombre  \(\text{e}\) , appelé aussi nombre d'Euler, est : \(\text{e}\simeq 2{,}718\,281\,828\) .

Remarques

• La fonction exponentielle `f:x\mapsto \text{e}^x` peut aussi être notée \(f:x\mapsto \text{exp}(x)\) .
  
• Tout comme la fonction exponentielle de base  \(10\) , il est possible de définir la fonction  exponentielle sur  `\mathbb{R}` , en posant pour tout  \(x\) réel :                                                                  \(\text{e}^{-x}=\dfrac{1}{\text{e}^x}\cdot\)
  
• Il existe une touche sur la calculatrice permettant de calculer directement  \(\text{e}^{x}\) :
  

Partie A   Représentation graphique et propriétés algébriques

1. Parmi ces trois courbes, indiquer celle qui représente la fonction exponentielle.

2. En utilisant la calculatrice, donner une valeur approchée à \(10^{-4}\) près des nombres suivants :

    a. \(\text{e}^{3}\)                          b. \(\text{e}^{-0,3}\)                          c. \(\text{e}^{7{,}4}\)                          d. \(\text{e}^{-\frac{3}{16}}\)   

3. Simplifier les écritures suivantes :

    a. `\text{e}^4 \text{e}^2`                      b. `\text{e}^{2x}\text{e}^{-x}`                          c. `(\text{e}^{2a-4})^5\text{e}^{-10a+3}`     d. \(\dfrac{\text{e}^{2y}}{\text{e}^{-3y}\text{e}^{y+1}}\)

Partie B   Résolution de l'équation \(\text{e}^x=m\,\, (m>0)\)

Propriété et définition

Soit \(m\) un réel strictement positif. L'équation  \(\text{e}^x=m\) possède une unique solution, appelée logarithme népérien de \(m\) , et notée \(\ln m\) :

                                                     \({\text{e}^x=m} \Longleftrightarrow x=\ln\, m\) .

Sur une calculatrice, elle correspond à la touche :

1.   En utilisant la calculatrice, donner une valeur approchée à \(10^{-3}\) près des nombres suivants :

     a. \(\ln\,{3}\)                b. \(\ln\,{0{,}43}\)                c. \(\ln\,{2}\)                          d. \(\ln\,{10\,000}\)

 2. Résoudre les équations suivantes :

    a. `\text{e}^x=5`            b. `\text{e}^{-x}=1`             c. \(5\times \text{e}^x=- 4\)           d. `\text{e}^{2x+1}=6·10^{24}`

Partie C   Exemples d'utilisation en sciences

1. La datation au carbone 14 est une technique permettant de dater des échantillons organiques. Par exemple, l'âge d'un arbre fossilisé, en année, est donné par :  \(t=\dfrac{1}{1{,}21·10^{-4}} \ln\left(\dfrac{13{,}56}{D}\right)\)

où `D` représente le nombre de désintégrations par minute et par gramme du carbone 14 dans l'échantillon étudié.

Estimer l'âge, arrondi à l'unité, d'un tronc fossilisé sachant que \(D=7{,}45\) .

2. La tension `U(t)`  aux bornes d'un condensateur pendant la période de charge est donnée en fonction du temps  \(t\) par : \(U(t)=15(1-\text{e}^{-\frac{t}{10}})\) .

La tension \(U(t)\) est exprimée en volt et \(t\) en seconde.

    a. Déterminer la valeur exacte de la solution de l'équation \(U(t)=7,5.\)

    b. Donner une valeur arrondie au dixième de cette solution.